Bases y Dimensión

Definición. (Base)

Sea un esp. vect. Una base de es un subcjto. l.i. tal que .

Observación.

• Una base nos genera al espacio sin tener información de más.

• Si , es subesp. de . Si es l.i, ent. es base de .
  En general, un subcjto. l.i. siempre es base de alguien, a saber, .
  Sin embargo es importante saber si , con , o .

En instancias, es importante saber cuando un generado realmente es todo el esp. vect. , o simplemente genera a un subesp. de .

Ejemplo.

• es base, pues por conv. y es l.i. En cambio, aunque , es l.d.

Note

El “teorema fundamental de algebra lineal”, que todo esp. vect. tiene base. Sorprendentemente, este teorema es equivalente al Axioma de Elección!

Teoremon. (Teorema de Bases)

Sea un esp. vect. sobre . Sea tal que si , ent, . Ent, es base de si y sólo si cada se puede expresar de única manera como comb. lineal de todos los elementos de , es decir, existen únicos escalares tales que .

Proof.

Sea tal que si , ent. .
() Sup. que para cada , existen únicos escalares tq.
. (Nota. Usamos unicidad apra ver que es l.i.)
PD. .
Como , por el Teo. de subida, como es espacio vectorial, .
Dado , por hip. exísten tq. . .
PD. es l.i. Usamos Teo. de linealidad finita:
Sean . PD. .
Si tomamos , ent. .
Como y todos los vectores de se escriben de manera única como comb. lineal de los elementos distintos de ,

es l.i. es base.
Sup. que es base, ent. ,
Ent. .
PD. Los ‘s son únicos para cada .
Sea tq. hay y hay tq. y
Ent. , Ent. , como es l.i. y todos los ‘s son distintos,

Corolario

Si es l.i. finito, y con todos distintos, ent. dado existen únicos tal que .

Proof.

Tarea

En general, si es l.d, sobra información para generar a . Es decir, debe existir tal que , y quiero seguir buscando subcjts. así hasta dar con uno que sea l.i.

Lema.

Sea esp. vect. y . Sea . Ent.

Proof.

Sea un esp. vect. y . Sea .

Sup. que , ent. hay y tales que .
PD.
Dado que , por un Lema anterior, .
Sea , ent. hay y tales que . S.P.G. sup. que son todos distintos.
Si , ent. .
Si , ent.

y en esta comb. lineal sólo aparecen vectores de , pues y .

Tarea.

Teorema 1.9

Sea esp. vect. tal que hay un subcjto finito de con . Ent. algún subjto. de es base de .

Proof.

Sea , finito tal que .
La demostración se hace por inducción sobre .
Sea
Paso base: Si , ent. , como , ,
PD.
Además y es l.i.
Paso Inductivo: H.I (Sup. ): Sup. si , y , ent. hay tq es base de .
PD. ()
Supongamos que , y .
Si es l.i, y como , ent. es base.
Si es l.d, ent. sup. , ent. existen no todos cero tq

Ent. existe tq , ent. existe , ent. . Ent. por el Lemita anterior, como .
Y como , . Además por H.I. hay tal que es base de .

Entonces, en todo generador finito está contenido en una base!

Teorema 1.10 (Teorema de Remplazo)

Sean . Sea un esp. vect. Sean tal que e es l.i. y y . Entonces, y, además, existe tal que y .

¿Porqué se llama de Reemplazo? Se reemplazan vectores de con los vectores de (que son l.i. entre ellos)

Proof.

Por inducción sobre .
Sea
Paso base:
Si , , ent. (el cual es l.i.), como , . Haciendo , tiene vectores, .
Paso inductivo:
H.I: Supongamos que el Teorema es verdader para (esto es )
PD. Si l.i. con y tal que y , ent. y existe tal que y .
Sea todos distintos, que es l.i. Sea tal que y .
Ent. es l.i., pues los l.i.s bajan.
Por H.I, y existe un subcjto de tq tiene vectores tales que
.
Como , hay tales que

Sabemos que . Para llegar a una contracción, sup. que , ent. , ent. por , donde ,

Lo cual es una contracción ya que es l.i.

Por el mismo razonamiento, hay tq , S.P.G. sup. . Despejando de , pues existe,

Sea , ent. .
Además, , y , por lo que .
Por el Teo. de Subida, .
Como ya teníamos que y , se tiene que

y y

Aunque, lo verdaderamente importante son sus corolarios:

Corolario 1.

Sea esp. vect. que tiene una base finita. Ent. toda base de tiene el mismo número de vectores.

Proof.

Sea una base para que tiene exactamente vectores. Sea una base para . (no se especifica si finita o infinita, entonces puede ser cualquiera)
Sup. que hay tq . Como es l.i, es l.i, por el Teo. de Reemplazo, usando que es l.i. y ,

Lo cual es una contracción!

Como es l.i. y , otra vez por el Teo. de Reemplazo, , ent. , y como arriba vimos que

La siguiente definición es clave!

Definición. (Dimensión)

Sea un esp. vect.

1. tiene dimensión finita si y sólo si tiene una base con un número finito de vectores.
2. Si tiene dimensíon finita, llamamos dimensión de , denotado , al número de elementos de cualqeuir base de .
3. tiene dimensión infinita si y sólo si no tiene dimensión finita.

Resultados.

En , ya vimos que cualqueiro cjto. finito de polinomios de no lo genera.

6. La dimensión depende del campo!

Observación.

Cuando digamos que un esp. vect. tiene dimensión , , estamos diciendo: “Existe una base para y caulqueir de sus bases tiene cardinalidad ”

Corolario 2.

Sea . Sea esp. vect. de .

1. Cualquier cjto. finito que genere a tiene al menos vectores. T cualquiera que genere a y tenga exactamente vectores es base.
2. Cualquier subcjto. l.i. de que tenga exactamente vectores es base de .
3. Cualquier subcjto. (finito o infinito) de que tenga más de vectores es l.d.
4. Todo subcjto. l.i. de se puede extender a una base para , por lo que todo subcjto. l.i. de tiene menor o igual que vectores.

Una aplicación muy útil del Corolario del Teo. de Reemplazo es la Fórmula de Interpolación de Lagrange.