Que motivación más importante que el uso de estas estructuras desde la escuela secundaria.^[Motivación Espacio Vectorial]
Abstraemos! y se hace la luz…
Def. (Vector Space)
Sea
un campo. Un espacio vectorial sobre consiste de un conjunto y dos operaciones llamada suma vectorial y multiplicación vectorial respectivamente, que cumplen:
Y están bien definidas.
Cerradura:
Cerradura: Los elementos de
son llamados escalares, y los de vectores.
Observación.
- La multiplicación escalar es una función que va de
en , por lo que dado y , sólo tiene sentido hablar de o ; - En general, en todo esp. vect. denotamos con
a su neutro para diferenciarlo del neutro del campo. - Ojo! en nuestros “axiomas” no mencionamos nuestro neutro e inverso son únicos.
Ahora, veamos propiedades que cumplen todos los espacios vectoriales.^[Propiedades de Espacio Vectorial]
Hay algunos
Normalmente, en el estudio de cualquier estructura algebraica es interesante examinar subconjuntos que tengan la misma estructura. Así, esta noción de subestructura para espacios vectoriales se le conoce como subespacio.^[Subespacio]
Desarrollamos un criterio muy simple para determinar subespacios y algunos resultados, damos ejemplos de subespacios.
Como vimos en tales ejemplos, un esp. vect.
- ¿Cómo pueden combinarse subespacios para generar otros subespacios?
- ¿Quienes son los subespacios que están “arriba” y “abajo” de ellos en el diagrama (Lattice)?
Esto abre la discusión de combinaciones de subespacios^[Combinando Subespacios]
Cuando un vector es combinación lineal de otro?^[Combinaciones Lineales y Generados]