Definición. (
) Sea
un campo y sean . Definimos al conjunto A sus elementos los llamamos las matrices de
con entradas en .
Sus operaciones están definidas de la siguiente forma:
Definida como: Si,
Además,
Definida como: Siy ,
Notación. Si
, si y , denotamos con a la entrada de que está en el -ésimo renglón y la -ésima columna.
Solo podemos comparar a las matrices que tengan la misma cantidad de renglones y de columnas:
Definición. (Igualdad de Matrices)
Sean
, decimos que si y solo si para todo y tenemos
Observación.
Es claro que
es una generalización de , pues .
Además, a veces una-ada de , la escribimos como una matriz de , i.e. . Pero también puede ser escrita como vector columna:
Teorema.
El conjunto
es un esp. vect.
Proof.
Definición. (Matriz Cuadrada)
Cuando en una matriz
, , la llamamos matriz cuadrada.
Definición. (
) Sea
. La transpuesta de , , es la matriz de con entradas tal que
Ejemplo.
Intuitivamente, la transpuesta de una matriz resulta ser el intercambio ordenado de las filas por las columnas, i.e. la primera fila pasa a ser la primera columna… así, sucesivamente.
Lema. (Propiedad de
)
Proof. (tarea)
Sea
Definición. (Matriz simétrica)
Las matrices simétricas de
con entradas en son: Obs.
Ejemplo.
, .
Definición (Matriz Antisimentrica)
Una matriz es antisimetrica si y sólo si
.
Obs.es antisimetrica y para que esto se cumpla .
Ejemplo.
Definición. (Matrices diagonales)
Las matrices diagonales de
con entradas en son:
Ejemplo.
, .
Teorema.
Resulta que
La notación, denota que son subespacios propios, i.e. estrictamente no iguales.
Proof.
Definición. (Traza de una Matriz)
La traza de
, , es la suma de sus entradas en la diagonal, es decir: Podemos verla como una función
.
Lema.
Proof.
Definición. (Matriz de Traza 0)
Las matrices de traza cero de
con entradas en son:
Además, es de esperarse que
Así, podemos imaginarnos y comenzar a visualizar nuestro diagrama látice para
No Ejemplo.
¿Será que
es un subesp. de ?