Subcojuntos maximales linealmente independientes, maximal
Hay una problematica en el querer demostrar que todod espacio vectorial tiene una base.
Ejemplo.
¿Cómo será una vase para
?
Spoiler alert: (triste :c) No vamos a saber quien es
No hemos demostrado, en general, que podemos encontrar una base en cualqueir subcjto.
Hasta ahora, solo hemos demostrado para
¿Qué pasa si tenemos un generador infinito?
Trucaso para uno de la tarea
En la tarea dice que no usen que
Si tenenmos un esp vect infinito, con dimension finita, entonces podemos
La induccion no es para demostrar los infinitos, sino para TODOS LOS FINITOS (que son infinitos).
Para demostrar que todod espacio tiene una base necesitaresmo Axioma de Elección (Lema de Zorn)
El maximal es el conjunto máximo con respecto a la contención en una colección de conjuntos.
Definición (Maximal)
Sea
una familia de cjts. ( es un conjunto). Un elemento de se llama maximal (con respecto a la contención) si y sólo si ningún elemento de contiene propieamente a
vemos que es una cadena ordenes no se que…
cadena dentro de ucadena dentro de un orden parcial (orden lineal)?
Zorn… cota en una cadena de un orden parcial? a partir de ahi se toma lo de que los reales son bien ordenados.
los computologos no creen en el axioma de eleccion.
Definición.
es una cota superior de con respecto a la contención sii
Lema de Zorn. (Principio de Maximalidad)
Sea
una familia no vacía de cjtos. Si para toda cadena , existe una cota superior de en con respecto a la contención, entonces, tiene un elemento maximal. Esto es, sea
no vacía, si para toda cadena , se tiene que , entonces,
Definición. (Maximal L.I.)
Sea
un esp. vect. Sea . (Ojo, (caso particular) )
es un subcjto. maximal l.i. de si y sólo si
y es l.i.
Observación.
Se pone esta definición lo más general posible, observe que no estamos pidiendo que
.
Sin embargo, si lográramos encontrar unmaximal l.i. de , parece que sería base de .
Y en el caso aprticualr en que, si logramos encontrar un maxiaml l.i. de , parece que sería base de .
Meollo del asunto: En general, dado
, no sabemos cuál es su cardinalidad. Si supiéramos que es finito, podríamos encontrar a usando inducción (Teo. de Reemplazo y sus derivados).
Si
Teorema.
Sea
un esp. vect. Sea . Sea un subcjto. maximal l.i. de . Entonces es base de .
Proof.
Corolario. (Caso particual en que
) Sea
y un maximal l.i. de , ent. es base de .
Proof.
Corolario.
Un subcjto. de
es base de si y sólo si es un subcjto. maximal l.i. de
Proof.
Observación.
Es equivalente demostrar que en todo esp. vectorial hay un subcjto. maximal l.i, a demostrar que todo esp. vectorial tiene una base!
Lema.
es cota superior de con respecto a la contención.
Proof.
Teorema.
Sea
un subcjto. l.i. de un esp. vecto. , entonces, existe un subcjto. maximal l.i. de que contiene a .
Proof.
Observación.
Obtuvimos una base para
que extendió a un subcjto. l.i. de .
El Corolario.
Todo espacio vectorial tiene una base.
Proof.
Sea
un espacio vectorial. Entonces, y es l.i. Haciendo en el Teo. anterior, obteniendo una base para .
Observaciones.
- La dems. del Teorema se hace así para poder extender un l.i. ya dado, si se necesita.
- Consecuencias:
hay una tq cualquier función de en , se puede escribir como comb. lineal (de un número finto) de vectores en , y es l.i. - Aritmetica transfinita: Hay manera de demostrar que la noción de dimensión sí se puede extender a dimensión infinita:
.