Subespacios

Def. (Subespacio vectorial)

Sea un esp. vect. sobre un campo . Un subconjunto de es un subespacio vectorial de si y sólo si es un espacio vectorial sobre con las operaciones definidas en . Lo denotamos

Observación.

• Los subesp. sólo lo son si son sobre el mismo campo.
• , se le llama subesp. impropio.
• , se le llama subesp. trivial.
• no es subespacio. De hecho, todos los esps. vects. y los subesps. en particular, son no vacíos. Porque el (VS 3) obliga la existencia de un vector.

¿Como podemos verficar si un es un subesp. de ?

La mayoría de las propiedades para ya se cumplen!
De hecho, se cumplen (VS 1), (VS 2), (VS 5), (VS 7) y (VS 8).

Observación. ¿Porqué?

Los “para todo bajan (a los subconjuntos)”, y los “existen suben”. Dado , se van a cumplir todas las propiedades con . Tenemos que revisar las propiedades con , i.e. (VS 0), (VS 0.5), (VS 3), (VS 4).

Observación.

(VS 0) y (VS 0.5) son abrebiaturas respectivamente de:

Sería demostrar estas propiedades (cerradura) para .

Dado las obs. anteriores, es suficiente con revisar (VS 0), (VS 0.5) y (VS 3).

Teorema 1.5 (Criterio de subespacio)

Sea un espacio vectorial y . Entonces, es un subespacio de si y sólo si se satisface:

1. .

Proof.

Sup. que es un subesp. de . Ent. cumple (VS0), (VS0.5), , (VS8) para con las operaciones y para .
Dado que y están definias para , y cumple (VS0) y (VS0.5), cumple los incisos y .
Ahora, como se cumple (VS3) en , hay tal que

Así, sea . Como , .
Dado que . Dado que . Ent. , por cancelación de , tenemos .
Pero como , y, como , el neutro de es el mismo que el de .

Sea tal que, cumple los incisos .
Ent., por la discusión anterior al teorema, sabemos que (VS1), (VS2), (VS5), (VS6), (VS7) y (VS8) se cumplen para pues los elementos de están en que es esp. vect. y son propiedades en las sólo aparecen “para todos”.
Dado que cumple el inciso , cumple (VS0) para .
Dado que cumple el inciso , cumple (VS0.5) para .
Dado que cumple el inciso , cumple (VS3) para .

P.D. cumple (VS4). P.D.
Sea , como , .
Como es un campo, , que es su neutro mult.
Además, debe tener un inverso aditivo en , .
Como y (VS0.5) se cumple para , . Como sí es esp. vect., por propiedad , cumple que

Proposición. (Criterio de subespacio "el bueno")

es subesp. vect. de si y sólo si,

Proof.

Nota!

Dado cualquier esp. vect. podemos pensar en un diagrama de ellos, ordenándolos por (ser subespacio de):

A este tipo de diagramas se les llama látices.

Proposición. (Criterio de subespacio 3)

Sea , si y sólo si

Proof.

Utilizando este criterio encontramos algunos resultados

Teorema 1.4 (Intersección de Subespacios)

Cualquier intersección de subespacios de un espacio vectorial , es un subespacio de .

Proof.

Sea un conjunto de subespacios de y sea la intersección de todos los subespacios en . Como cada uno de los subespacios contiene al vector cero, . Sean y ; entonces son elementos de cada subespacio en . Por lo tanto, y , y es un subespacio de acuerdo al criterio 1.3. Q.E.D.

Un hecho no tan trivial de demostrar es la unión.

Teorema. (Unión de subespacios)

Sean y subespacios de un espacio vectorial . es un subespacio de si y sólo si o .

Proof.

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Resulta que la diagonales son subespacio de las matrices y de las simetricas… de tarea demostrar… y otras cosas igual con la trza y nose que… un lemita de tarea… observamos los tipos de matrices y trazas… y visualizamos un poco el diagrama de subespacios de .

triagulares superiores???

Ejemplo 1. Subespacio de las matrices simétricas

Una matriz simétrica es una matriz tal que , es necesariamente cuadrada. Así, el conjunto de todas las matrices simétricas en es un subespacio de ya que satisfacen las 3 condiciones:

1. La matriz cero es igual a su transpuesta y, por lo tanto, pertenece a .
2. Si y , entonces y . Ahora bien, , de manera que .
3. Si , entonces . Luego, para toda , . Y así .

Solo que para el ejemplo anterior se necesita probar el hecho , utilizado para los puntos .

Proof.

Ejemplo 2. Las matrices diagonales en

Sea una matriz de . La diagonal (principal) de consta de los términos . Una matriz de se llama matriz diagonal si todos los valores que no se encuentren sobre la diagonal de son nulos, esto es, si para toda . El conjunto de todas las matrices diagonales en es un subespacio de .

Ejemplo 3. Los polinomios de grado menor o igual a

Sea y sea un conjunto que consta de todos los polinomios en que tengan grado menor o igual a . (Nótese que el polinomio nulo es elemento de pues su grado es .) Entonces, es un subespacio de .

Ejemplo 4. Las funciones continuas de valores reales definidas en el eje de los

El conjunto formado por todas las funciones continuas de valor real definidas en es un subespacio de , donde es el espacio vectorial del conjunto de todas las funciones .

Ejemplo 5. La traza de una matriz...

Sea matriz , su traza denotada , es la suma de los valores de ubicados en la diagonal; esto es, . El conjunto de todas las matrices de que tienen una traza igual a cero es un subespacio de .

Para la demostración del Ejemplo 5, es necesario el revisar que: para toda .

Contraejemplo 6.

El conjunto de matrices en que únicamente tengan elementos no negativos no es un subespacio de ya que no su cumple la condición iii.