Transformaciones Lineales

Definición. (Transformacion Lineal)

Sean y esp. vect. sobre . Una función se llama transformación lineal de en sii y tenemos que

Proposición.

Sean y esp. vect. sobre el campo , y sea

1. Si es lineal, ent.
2. es lineal si y sólo si

3. Si es lineal, ent.

4. es lineal si y sólo si y tenemos que

Proof.

1. Sup. que es lineal, ent.

Además, .
Entonces, , como es esp. vect. cumple la ley de la cancelación y .
2. Tarea
3. Sup. que es lineal, y sean , ent.

4. Tarea (es por inducción sobre , haciendo primero el caso , que es casi el inciso de esta proposición.)

Antes de ver ejemplos de transformación lineales, veamos dos definiciones importantisimas!

Definición. (Kernel y Rango)

Sean esp. vect. sobre y sea lineal. Definimos el Núcleo de o Kernel, denotado como el cjto.

Definimos al rango o imagen de T como,

Observación.

• es un subcjto. del dominio de .
• es un subcjto. del codominio de .

Ejemplo 1.

Sea definida como .
Veamos que es lineal usando el inciso anterior:
Sean y , ent.

Además,
Sea , ent.
ent. .
Y tenemos el sistema:

Sea ,
Así, , pues se cumple y Sea , ent. y .

Observación.

• no es inyectiva.
• , .

Ejemplo 2.

Sea . Definimos como para cada vector no nulo , es el vector que se obtiene al rotar por en contra de las manecillas del reloj y .
Para encontrar una fórmula explícita para :
Sea . Sea el ángulo que hace el vector con el eje . Sea . Entonces, y .
Por otro lado, también está a distancia del origen y el ángulo que hace con el eje es . Ent.

Observe que cuando , la fórmula de arriba también sirve.
Con esta fórmula está más fácil ver que es lineal (Tarea)
(Tarea)
(Tarea)

Observación.

• es inyectiva
• ,

Hay más ejemplos en la tarea a verificar si son lineales, nucleos y rangos!

Ejemplo. (Importante)

Para esp. vect. sobre , la transf. identidad
es lineal.

Y dado un esp. vect. sobre , la transf. nula
es lineal.

Además, se tiene,
y
y
es inyectiva, casi nunca lo es.

Teorema.

Sean y esp. vect. sobre . Sea lineal, ent.

Proof.

PD.
Por el inciso de la Proposición anterior, , por lo que .
Sean y , ent. y .

PD. .
Por el inciso de la Prop. anterior, , por lo que .
Sea y , ent. hay y . Entonces,
, por lo que

Definición (Proyección)

Sea un esp. vect. y sean tales que . Una función
es una proyección sobre a lo largo de si y sólo si
para cada donde con y .

Proposición.

Sea esp. vect. y sean tales que . Si es una proyección sobre a lo largo de , ent. es una transf. lineal y, además,

Proof.

Tarea

Proposición.

Sea esp. vect. Si es de dim. finita y , ent. existe y tal que es una proyección sobre a lo largo de .

Proof.

Tarea, creo.
Idea: Como y es de dim. finita, también y . Ent. existe base de . Como es l.i. y es un subcjto. de , se puede extender a una base de de .
Sea . Proponemos . Hay que ver que . Y ent. será , donde con y , ent. es la proy. buscada.

Observación.

Obsérvese que hay tantos como extensiones de hay, es decir no es único.

Ejemplo sencillo:

En , sea . Sean y , ent. y , esto porque dada la base de , tanto como son bases de y ent. definiendo usando y definiendo usando son proyecciones distintas y tiene que ver con que dado , no es lo mismo verlo como suma de vectores de y que y .

Ahora, combianamos el concepto de transf. lineales con el de generadores, base y dimensión!

Notación.

Sean y esp. vect. sobre . Sea una transf. lineal. Dado , escribimos o para la imagen de bajo .

Teorema 2.3

Sean y esp. vect. sobre , sea lineal. Si es base de , ent .

De tarea esta la versión general, en la que no es forzosamente finita.

Proof.

Sea base de , ent. . Por Teo. de Subida, como es esp. vect, .
PD.
Sea , ent. hay .
Como es base de , hay .
Entonces,

Observación importante!

¿Porqué será que Teo. 2.3 no dice que es base de ?

• Puede que no sea l.i, puede que no sea inyectiva. Esta es una trampa que podemos caer en la tarea!
  Observe que en la prueba anterior no pasa nada si para algunos y .

Teorema 2.4 (Teorema de la Dimensión)

Sean y esp. vect. sobre y sea lineal. Si tiene dim. finita, Ent.

Proof.

Sup. que . Por el Teo. de dim. de subespacios, . Llamemos , .
Sea una base de . Por un Cor. del Teo. de Reemplazo, podemos extender a una base de , digamos
PD.
Sabemos que, por el Teo. anterior,

Como , tenemos que

PD. es l.i.
Sean tq .
PD.

Así,
Luago existen tq

Ent.

Como es base de ,
.

PD.
Sean . Sup. , ent. .
Sup. , ent.

Luego .
Entonces existen tq

Esto es una comb. lineal no trivial del con elementos de la base !
Contradicción!

Observación.

se comportó de manera inyectiva en el cacho de la base que generó a .

Teorema 2.5

Sean esp. vect. sobre y sea lineal. Ent. es inyectiva si y sólo si

Proof.

Sup. que es inyectiva.
PD.
Porque es lineal.
Sea , ent. , como y es inyectiva, .

Sup. . Sup. ,
, ent. .
Como ,

Definición. (Nulidad y Rango)

A la dimensión de se le llama la nulidad de , y se denota o .

A la dimensión de se le llama el rango de y se denota o .

Con estás definiciones podemos rescribir el Teo. 2.4 y 2.4, ya es a su preferencia.

Ejemplo.

Sea campo. Sea definida como . es lineal. (Tarea)
Se verá que sólo el polinomio nula va a dar al , por lo que es inyectiva.
Además, es sobre, pues , hay un polinomio, a saber, que va a dar a bajo .

Observación.

Teorema.

Sean y esp. vect. sobre un campo y tales que tienen dimensión finita igual. Sea lineal. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. es inyectiva
2. es sobre

Proof.

Del Teo. de la dimensión,
Por hip,

Ent. es inyectiva

Observación.

Si es de dim. finita, y lineal, ent. es inyectiva si y sólo si es sobre.

Obviamente ser lineal es un hipótesis clave, por cálculo sabemos de muchas funciones que son inyectivas y no son sobre, o viceversa.

Resulta que si es dim. infinita, no siempre inyectiva es equivalente a sobre, es decir, la hipótesis en nuestro Teo. anterior, de que la dimensión finita, también es clave.

Teorema.

Sean y esp. sobre . Sea lineal. Ent. es inyectiva si y sólo si lleva subcjts. l.i. de en subcjts. l.i. de .

Proof.

Tarea! Clave!

Corolario. (Es casi la ida del Teo. anterior)

Sean y esp. sobre . Sea lineal e inyectiva. Sea , entonces

Proof.

La ida usa el teo anterior. el regreso esta bueno! (Si no estan usando que es inyectiva se estan autochoreando!)
Sup. que es l.i, sea con todos distintos y sean , ent. , ent. , ent. como es l.i,
Aguas en ese ent. esta el autochoro!!!! se necesita usar que es inyectiva!
Aguas con los para todos y existe, La idea de una trasf. lineal, para todod existe, pero si es inyectiva, el existe y el para todo conmutaron!!!

Nota!

Justo ver a como conjunto

Esto es lo que hace complicada la def. de l.i. y l.d. por que lo vemos como conjutnos

Necesitas saber que es inyectiva para que justo sean distintos.

Las transformaciones lineales quedan completamente determinadas por su acción en una base.

Teorema 2.8 (De existencia y unicidad)

Sean y sobre y supongase que tiene dim. finita y que es base de . Para cualquier subcjto. de existe exactamente una transformación lineal tal que .

• Ojo! en este teorema los no tiene que ser todos distintos.

En la tarea esta la versión infinita de éste.

Proof.

Sean y sobre , de dim. y sea base de . Sean vectores de (no necesariamente distintos). Para cada , por el Teo. de bases, existen únicos tales que . Definimos como . (Nota. Esto es, a cada lo relacionas con su única manera de ser escrito con , se puede pensar como la -ada y esos escalares los vas a multiplicar por cada y luego los sumas ahí mandas a .)
PD. es lineal.
Sean y PD. .
Sean y .

Por otro lado, como la manera de escribir cada como comb. lineal de es

Para ver que es única,
Supongase que lineal tq. .
PD. .
Sean , y sean . Entonces,

El siguiente corolario es importantisimo.

Corolaio.

Sean y esp. vect. sobre , con de dim. finita y una base con todos distintos de . Si , entonces, .

Proof.

…