Congruencias

Definición.

Sean , . Decimos que es congruente con módulo si

y lo denotamos , en caso contrario, .

Ejemplo.

, ya que
, ya que
, ya que
, ya que

Observación.

La congruencia módulo es una relación de equivalencia.

Proof.

1. , así y
2. Si , . Entonces con , . Así y .
3. Si y , ent. y . Así, y . Q.E.D.

Teorema.

Sean , . Tenemos que si y sólo si y tienen el mismo residuo al dividirlos entre .

Proof.

Sean , .
Supongamos que . Por el algoritmo de la división,

PD.
Como sabemos que
.
Así, , con .
Tenemos que y ent.
.
Si , sin pérdida de generalidad supongamos que .
Así, como tenemos Contradicción!

Supongamos ahora que,

PD.
Tenemos que
Así, y entonces .

Corolario.

Sea . Existen exactamente clases de equivalencia módulo , que son .

Proof.

Sea .
Veamos que son distintos. Si con , ,entonces y así .
Como , entonces pero por otro lado y así Contradicción!

Veamos que no hay más clases.
Sea . Por el algoritmo de la división con , . Así, y entonces con .

Definición. (Enteros Módulo )

Sea . El conjunto de los enteros módulo es la colección de clases módulo , es decir,

y se denota por

Ejemplo.

1. ,
   Las clases módulo son,

Realizando esto sucesivamente, de manera análoga,

Los enteros módulo son:

Teorema. (Propiedades Básicas)

Sean , .

Proof.

Sean y .

1. Supongamos que .
   PD.
   
   Como , tenemos que y ási
   . Por lo tanto
2. Supongamos que y .
   PD. y .
   Por transitividad .
3. Sup. .
   PD. . Tenemos que . Como sabemos que con . Ási,

ent. . Por lo tanto, .
4. Sup. y .
PD.
Por , y . Por transitividad,
.
5. Sup. y . Tenemos que . Así, y y por transitividad . Por lo tanto
6. Sup. .
PD.
Tenemos que . Como , con . Así,

entonces

Definición. (Suma y Producto de Congruencias)

Sean . La suma de y es

El producto es,

Observación.

Las operaaciones anteriores están bien definidas.

Proof. , Sup. que y . Entonces, y . por las prop. anteriores tenemos que, y Así, y .

Ejemplo.

. Consideremos

Teorema.

Sea . El conjunto con las operaciones y definidas es un anillo conmutativo con uno.

Proof.

Ejemplos.

Proposición.

Sean , .

2. Si se tiene que

Proof.

Sean , .

1. Sup
   PD.
   Como , ent. con . Así, y ent.

Tenemos entonces que , pero como
, por el elema de Euclides,

Sup . Entonces
con , mult. por

Así, Q.E.D.
2. Es consecuencia directa de .

Corolario.

Sea . El anillo es un dominio entero si y sólo si es un número primo.

Proof.

Por contrapuesta.
Sup. que no es primo
PD. no es un dominio entero.
Sabemos que es compuesto.
Por una observación previa,

Entonces,
Como , entonces y así,

es decir . Análogamente .
Así, con .

Sea un número primo, tales que .
PD.
Como se tiene que y entonces

Si se tiene que y así . Como es primo tenemos que .
De sabemos que

Por el inciso del Teorema anterior,

y así