Divisivilidad
Definición. (Criterio Divisibilidad)
Sean
, decimos que divide a , o que es factor de , o que es multiplo de , o que es divisible entre , si para algun Notación.
, o si no divide .
Observación.
Si
tenemos que , es decir, .
Además,podría ser cualquier entero, Ent.
Proposición.
Sean
, unidades.
Lo probamos de forma generalizada para que funcione para Dominios Enteros en general.
Proof. Sean
, unidades Supongamos . P.D. Como , ent Mult. por
Sup.
P.D.
Como, Mult. por
Corolario.
Proposición.
Sean
. Si y , entonces y son asociados, es decir con unidad.
Proof.
Sea
. Sup. y .
P.D.y son asociados.
Como , ent. .
Como , ent. .
Sust.Si
, por ,
Así,y tendriamos Si
, cancelando en tenemos entonces
y son unidades de .
Así, por
Proposición.
Sean
con , si , ent
Proof.
Sean
, con . Supongamos .
PD.
Como, ent. .
ConsideroPD.
. Notemos que ya que si , ent !
Así,y , como no hay enteros entre y , ent y por def. También
.
Así,
Teorema. (Propiedades Básicas)
Sean
.
. - Si
y , ent. . - Si
y , ent. . - Si
, ent. . - Si
y . - Si
, ent. .
Proof.
con - Sup
y , es decir y con .
ent.con
Así,- Sup
y , es decir y con .
Así,, por lo que . - Sup
, ie. con . Mult. por c, con . Así . Sup y . Sean .
PD.
Como, ent. por , , de misma forma, .
Por, .
Sup
PD..
Como, en particular. Por tanto,
y
6. Sup la hipotesis, esto es,y , con . Sust.
Observación.
Es interesante ver que en
de , la hipotesis es muy fuerte. En esa demostración podemos ver que hay algún tipo de demostraciones más simples de lo que parecen, que guardan en su hip. la demostración en sí.
Observación.
Vemos que
es el “reciproco” de pero con la condición necesaria que , sino, no se cumple.
Y si nos preguntamos en, que es y si se pueden describir todos los a partir de esa expresión?
Definición. (Combinación Lineal Entera)
Sean
. Una combinación lineal entera de y es un elemento de la forma
De aquí podemos desarrollar una observación más general:
Si
tales que para algún , ent.