El concepto de grupo esta estrechamente ligado con el concepto de simetría.
Def. (Grupo)
Un grupo es una estructura
donde es un conjunto no vacío y es una operación binaria^[Operacion Binaria]
donde, por abuso o conveniencia de notación se escribe
tal que
, es asociativa , llamado identidad o neutro, tal que . existe un elemento llamado inverso, denotado , tal que .
Def. (Grupo abeliano o conmutativo)
Diremos que el grupo es abeliano si además satisface para toda
:
Es decir, si su operación binaria es conmutativa.
- Si el grupo es abeliano, se acostumbra denotar su operación binaria con el signo
.
Def. (Magma o grupoide)
Sea
con una operación binaria sin que cumpla alguna condición, decimos que es un magma o grupoide.
Def. (Semigrupo)
Sea
un conjunto con una operación binaria que cumpla 1. (asociatividad) diremos que es un semigrupo.
Def. (Monoide)
Sea
un conjunto con una operación binaria + que cumpla 1. y 2. (asociatividad e identidad) diremos que es un monoide.
Def. (Homomorfismo)
Sean
y dos grupos. Un homomorfismo de grupos es una función tal que
Def. (Acción)
Sea
y dos conjuntos. Una acción de en es una función de en el conjunto .
Def. (Grupo con Operadores)
sea
un conjunto. Un grupo junto con una acción de en que sea distributiva con respecto a la ley de composición de
se llama grupo con operadores en .
Example
Esta ley distributiva puede expresarse como
i.e.,
Observation.
En un grupo
con operadores , cada elemento de (llamado operador) define un endomorfismo (i.e. un homomorfismo de ) del grupo G. Consideremos y para , definamos Si
es abeliano, tenemos que Luego, todo grupo abeliano
puede verse como un grupo con operadores en .
^[Anillo]
Recursos
https://www.matem.unam.mx/~labardini/teaching/Grupos_EMALCA_Chile.pdf