Teorema.
Sean
. El número tiene un inverso módulo , es decir
si y sólo si .
Proof.
Sean
.
Supongamos que tiene un inverso módulo . Entonces existe tal que, Así,
, entonces con y por lo tanto con . Tenemos así una combinación lineal de y igual a , que deber ser entonces la comb. lineal positivoa mínima
Sup. que . Ent. existe tales que Así,
con y por lo tanto Tenemos entonces que
y por def. es un inverso de módulo .
Observación.
- Si
, entonces es un inv. de mod . - Si
, cualesquiera dos inversos de son congruentes mód. .
En otras palabras, sila solución de es única módulo , es decir, si son soluciones de , ent. Proof. Si
son tales que y , entonces por transitividad, y como (son primos relativos) por cancelación .
Definición. (Inverso Multiplicativo Modular)
Sean
, con . Decimos que es un inverso de módulo si y lo denotamos
, esto es un abuso de notación pero es valido.
Ejemplo.
son inversos de mod. , por abuso de notación, trabajando mod. 5: