Suma en los Enteros

Suma en

Definición. ()

La suma en los enteros es la función tal que

Dada nuestra definición nos surge una pregunta, ¿Qué pasa si cambiamos los representantes de equivalencia, dara mismos resultados? Esta pregunta busca responder si la operación está bien definida, es decir si es invariante ante representantes.

Proposición. ( Unívoca)

Para cualquiera , si y , entonces

Es decir, la suma está bien definida.

Proof.

Sean considero tales que y .
Dado lo anterior, por la definición de tenemos

Sumando estas ecuaciónes tenemos

Por asociatividad y conmutatividad de la suma en concluimos

Teorema. (Propiedades de )

El conjunto cumple:

• Asociatividad: .
• Conmutatividad:
• Neutro aditivo:
• Inverso aditivo: .

Notación. o, en ya generalizado, .

Proof.

1. fjdk
2. jfdks
3. P.D.
   Pronemos . Sea digamos .

Analogamente,

4. P.D.
   Sea , digamos con . Proponemos como inverso aditivo a . Tenemos

ya que pues por la conmutatividad de .
Analogamente,

Proposicion. (Unicidad de y )

1. En el nuetro aditivo es único.
2. En el inverso aditivo es único

Proof.

1. Sean neutros aditivos en . P.D.

Así, podemos definir :

Notación. Sea . El inverso aditivo de , denotado con , es el único entero tal que y .

Teorema. (Más propiedades)

Sea .

2. Cancelación :

Regresando al argumento de la motivación de , veamos que sí cumple lo que no cumplía. Es decir, veamos que todas las ecuaciones de la forma

Si tienen solución en .