Unidades en los Enteros

Aún más propiedades en

Teorema. (Se cumple el PBO)

No existe tal que

Proof.

Supogamos PRAA (por reducción al absurdo) que existe tal que .
Consideramos

Como (estoy considerando una colección con almenos un elementos) tenemos que . De hecho, observamos que . Por PBO (principio del buen orden).

Como tenemos

Consideramos
Como y , tenemos

Ent.

Además, como sabemos que
Así,

Por lo que pero con . Esto contradice el PBO!

Definición. (Unidad)

Decimos que es una unidad en si tiene inverso multiplicativo. Es decir,

Teorema. (Unidades en )

Las únicas unidades en son y .

Proof.

es unidade en ya que .
es unidad en ya que
Veamos que son las únicas.
Sea unidad
P.D. o
Como es unidad tiene inv. mult. Digamos , ent.

Tenemos, por propiedades de valor absoluto

Así,
Notamos que y , ent.

Como no hay enteros entre y , tenemos

Si multiplico, por entonces

Ent. , ent. o