Definición. (Circunferencia)
es una circunferencia si todos sus elementos equidistan de un punto .
Theorem. (Ecuación Ordinaria o Canónica)
Un punto
pertence a la circurferencia con centro en y radio si y sólo si sus coordenadas satisfacen
Proof.
Directamente de la definición, con
.
Theorem. (Ecuación General)
Toda circunferencia en
puede expresarse mediante una ecuación polinomial de segundo grado de la forma: Donde
.
Proposición. (Condición de Existencia)
Dada la ecuación general
, esta representa una circunferencia real si y sólo si el discriminante es positivo No demostraremos ahora:
- Si discriminante
, es una circunferencia imaginaria. - Si discriminante
, la ecuación degenera en un único punto , (circunferencia puntual o radio nulo)
Proof.
Completando cuadrados en la general obtenemos
Observamos su centro en
y radio .