Parabola

Definición

es una parábola si sus elementos equidistan de un punto y una recta .

Teorema (Ecuación Canónica)

Sea con (vértice) en el origen y su eje focal coincide con el eje , entonces su ecuación es:

Si el eje focal es con el eje Y

Proof.

Sea el eje focal y . Por definición, el vértice es el punto medio del segmento desde la directriz al foco .
Observamos que si escribimos .
Igualmente, esta a la distancia del origen, por lo que su ecuación es , o bien
Sea . Por definición

Teorema. (Ecuación Ordinaria)

Sea con y distancia de a . Si su eje focal es paralelo al eje .

Si su eje focal es paralelo a

Proof.

Trasladamos los ejes al origen

donde son las coordenadas del sistema original y en el sistema trasladado.
En el sistema trasladado, el vértice esta en el origen . Por el teorema anterior se tiene

Sustituyendo inversamente las ecuaciones de transformación para regresar al sistema original se tiene

Teorema. (Ecuación General)

Toda parabola cuyo eje focal sea paralelo a alguno de los ejes coordenados es descrita por un caso de la ecuación general de segundo grado, donde y su discriminante es cero:

Proof.

Partimos de nuestra ecuación ordinaria

Tomando los parámetros tenemos la ecuación general de la forma