Transformaciones Ortonormales

Una transformación lineal es una Transformación Ortogonal si preserva el producto interno del espacio. Es decir, para todo par de vectores :

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• Vectores ortonormales

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TRansformaciones lineales?

Teorema. (Representación Matricial)

Una transformación lineal admite una representación mediante la matriz , en el sentido de que
Donde se llama matriz estándar de , y se define como

Claro, son los canónicos

Teorema. (Recíproco del teorema anterior)

Toda matriz genera una transformación lineal

tal que

Prop. La composición de transformaciones lineales, es de nuevo una transformación lineal.

Prop. Si son transformaciones lineales y son sus respectivas matrices estándar, entonces

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Algunas transformaciones lineales útiles

Sobre transformaciones lineales elementales.

Rotaciones:

Reflexiones:

Contra el eje :

Contra el eje :

Contra :

Compresión-Dilataciones: Por un factor a lo largo de un eje coordenado.

Deslizamientos Relativos: Por un factor a lo largo de un eje coordenado.

Continuamos con el criterio de diagonalización^[Diagonalizacion]