Espacio de Probabilidad

Definición. (Espacio de Probabildad)

Un espacio de probablidad es un espacio de medida finita cuya medida total es estrictamente igual a la unidad. Se define como la terna :

• Espacio Muestal:
• -álgebra de Eventos:
• Medida de Probabilidad:

Definición. (Espacio Muestral) [Samplig Space]

El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento, denotado . A un resultado particular del experimento se le denota .

La -álgebra de eventos^[Sigma-algebra de eventos] es una familia de subconjuntos de que cumple con tres propiedades. Funciona como aduana para restrigir a solo conjuntos tratables, como en el caso de conjuntos discretos o de infinitos pequeños.

La medida de probablidad^[Medida de Probabilidad] es una funcíon que asigna cada evento en un número real, y tiene que cumplir con tres axiomas.

Nota!

• Un experimento aleatorio aunque no lo parezca, también tiene su definición formal fenomenológica:
  • Replicabilidad: puede ser repetido infinitamente bajo condiciones iniciales identicas.
  • Indeterminismo: El resultado de una ejecución individual de es impredecible a priori. Ningun modelo determinista puede asegurar cuál será el resultado de la siguiente iteración.
  • Exhaustividad: Se conoce el conjunto de todos los resultados posbiles de experimento, esto es .
  • Estabilidad de Frecuencias: Si se repite -veces con , la frecuencia relativa con la que ocurre un evento tiende a estabilizarse alrededor de un límite constante, lo que designa a .
• Un resultado o resultado elemental es el desenlace más básico, indivisible y específico de un experimento aleatorio. Es claro que . Los resultados elementales son mutuamente excluyentes (si ocurre uno, es imposible que ocurra otra simultáneamente en la misma iteración del experimento).
• Un evento es una agrupación de resultados, denotados Por definición, y .
  • Ej. Sea y sea .
    Es a los eventos a los que la función les asigna un número, . es incorrecto.
• El par contituye de manera independiente un espacio medible.

Muyyy en sintesis,

• Conjunto de posibles resultados
• Conjunto de posibles eventos
• Función que da probabilidades

Observación

• El complemento es respecto a

• Como

• Cualquier -álgebra, es subconjunto del potencia

• Conocida como -álgebra cero o trivial

Ejemplo 1. (Medida clásica)^[Medida de Probabilidad Clasica]

Para la Medida de probabilidad clasica, se necesita que sea finito.

Definición. (Medida clásica)

También se suele escribir

¿Cuándo usar la medida clásica?

• es finito
• Suponemos que cada elemento de tiene la misma probabilidad

Ejemplo 2. (Medida Frecuentista)

Necesitamos que se realice el experimento algunas veces

Definición. (Medida Frecuentista)

Ejemplo. Lanzar una moneda:

• Experimentos
  y

Ejemplo 3. (Medida Geométrica)

Útil cuando se tienen demasiados eventos en consideración. Supongamos que es no-numerable. Definimos

Donde
En está medida, la probablidad depende del tamaño , de hecho, termina de ser una generalización de la medida clásica.
Tiene una consecuencia interesante, para todo punto su probabilidad es