Conocida también como función de acumulación, siempre puede definirse para cualqueir v.a. y gracias a ella podemos identificar todas las propiedades de la v.a.
De manera análoga a la función de densidad, induce el estudio de un experimento aleatorio y su modelo de proba, al estudio de las funciones reales.
Idea.
La función de distribución evualuada en
, es la proba de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual a , i.e, que tome un valor en el intervalo .
Definición. (Función de Distribución)
Sea
v.a. cualquiera. La función de distribución de , denotada , se define como la probabilidad:
En el caso discreto,
Idea.
es la suma de todos los valores positivos hasta de la función de densidad.
Yes el tamaño del salto de la función de distribución en el punto .
Teorema. (Función de Distribución Discreta)
Sea
función de probabilidad (densidad) de , la función de distrubución se calcula: y para obtener
a partir de , se tiene Donde
, i.e, es el límite por la izquierda de en .
Igual,.
En el caso continuo,
Teorema. (Función de Distrubución Continua)
Sea
función de densidad de , dada la definición, se tiene que Por el TFC, cuando
es diferenciable,
Teorema. (Propiedades)
Toda función de distrubución
satisface:
, i.e. nunca es decreciente , i.e. es continua por la derecha.
Proof.
Definición. (Función de Distrubución)
Toda función
que cumpla las cuatro propiedades anteriores se le llama función de distrubución sin importar si tiene una variable aleatoria que la defina.