Idea.
La varianza
es una medida del grado de dispersión de los diferentes valores tomados por la variable.
Definición. (Varianza)
Sea
v.a. discreta con función de masa de probabilidad . La varianza de se define como el número cuando esta suma es convergente y en donde
es la esperanza de . Para
v.a. continua, se define cuando esta integral es convergente.
En el caso de que la integral o la suma no convergan, ent. se dice que la varianza no existe o no
no tiene varianza finita. A la varianza, generalmente, se le denota
.
Observación.
También podemos expresar la varianza en una sola expresión como, dodne
es (bajo la misma v.a.): Si! La varianza es un caso particular de la esperanza, en donde estamos calculando la esperanza de
aplicada a una v.a. con esperanza . Entonces, podemos hacer uso de un poco de la teoría que desarrollamos sobre la esperanza^[Esperanza].
Definición. (Desviación Estandar)
A la raíz cuadrada de
se le llama desviación estandar, denotada .
Teorema. (Propiedades)
Sean
y v.a. con varianza finita y una constante, entonces
. . . . . - En general,
.
Proof.
Proposición.
Sean
y v.a. independientes y con varianza finita, entonces