Teorema. (Cambio de Variable)
Sea
continua con derivada continua. Si es una función tal que y es continua entonces para todo
.
Proof.
Sea
, es una función continua lo que implica que existe su antiderivada de tal forma que
Observamos ahora que:
Por esto,es una antiderivada de , lo que nos lleva a Así,
Observación.
Si
, ent.
Ejemplo.
Si cambiamos los extremos de integración desde antes, podemos evaluarla desde
, el siguiente evaluamos en los dos extremos para comparar que es el mismo resultado:
Desde que se integra, con el concepto general de antiderivada (integral indefinida) se tiene que poner la constante
:
Pueden haber multiples cambios de variables!