Centros de masa (Físicos)

Idea.

Supongamos que tenemos cuerpos con masas asociadas.
, cuerpos alineados
El momento de masa respecto al origen representa, el torque o fuerza de rotación de un sistema alrededor de un eje o en este caso, un punto (el origen). Al ser justo, de un sistema, donde diferentes fuerzas (masas) son aplicadas, se calcula el “total” de la fuerza aplicada al sistema de la siguiente forma.
El centriode repesenta donde está el centro de masa, dado todas las masas, en tal sistema.

Definición. (Momento)

Dado lo anterior, el momento o momento de masa de respecto al origen es:

El momento respecto a otro punto diferente del origen es,

Definición. (Centroide)

El centroide de denotado es:

Es interesante ver que el momento respecto al centroide es nulo, esto es claro, si sostenemos al sistema solo desde el centroide, el sistema estará en equilibrio. Calculamos el momento respecto a ,

Observación.

La suma con doble indice anterior es , pues observamos que , por ejemplo, si , y si lo invertimos,
, lo caul es lo mismo que el anterior pero con signo opuesto, si lo sumamos se cancela.

NOTA. Los físicos dicen que un sistema está equilibrado si su sistema está tomado justo desde su centroide.

Ahora, supongamos que el sistema “vive” en y que no está necesariamente alineado. En este caso se definen dos momentos de masa,

Momento Continuo

Supongamos que tenemos una varilla, podemos discretizar la varilla. El problema, es que si pensamos la varilla puntualmente, los pesos de cada punto van a ser nulos, como lo es el área de una recta o longitud de un punto, esa medida está en otra dimensión.

Entonces, introducimos el consepto de densidad, en este caso denotada con , ent. la densidad de la varilla es masa sobre longitud:
Supongamos que por cada tramo de la varilla existe un punto, llamemosle en el cual se concentra toda la masa del tramo. La masa aproximada es,

Entonces, para el problema de cuerpos (en la varilla) tenemos por aproximación del momento (respecto al origen) a:

Obs. que el lado derecho de la ecuación es una suma de Riemann para .

Definición. (Momento respecto al origen)

El momento de una varilla es:

de esta forma, el momento depende de la densidad.

Definición. (Centroide caso Continuo)

El centroide de una varilla es,

Observación.

Si , i.e. es constante,
Lo cual tiene sentido, el centroide de una varilla con densidad constante, es el punto medio.

Momento de funciones paramétricas

Pensemos ahora que la varilla está curveada. Procediendo similarmente al caso anterior con la existencia de

Suponiendo que es derivable, tenemos tenemos, usando el T.V.M. de integrales:

Así, una aproximación del momento respecto a, Eje :

y respecto al eje ,

Definición. (Momento de función paramétrica)

Los momentos de una varilla dado por derivable son:

Definición. (Centroide paramétrico)

Las coordenadas del centroide de una curva dada por son, donde es la masa total

De aquí, el caso más sencillo por estudiar será cuando
y (la gráfica de una función). En este caso,

y continuamos declarando el Teorema de Pappus.

mas notas…
El centroide de una región (figura) está dada por:

donde es el área de la figura, y