Continuidad Uniforme

Definición. (Alcance de una Función)

Sea , llamamos el alcance u ocilación de a

A diferencia de la continuidad, la continuidad uniforme no tiene punto fijo , su radio no depende del punto .

En la continuidad uniforme, existe un solo universal que funciona para toda la función al mismo tiempo.

Definición. (Continuidad Uniforme)

es uniformemente continua en si

Veremos que si una función es continua es unif. continua. Pero el reciproco no es verdad, veamos un ejemplo.

Ejemplo ()

Tomemos , . Probamos que es continua en :

Sea . Observamos que .

Si inicialmente tomamos por desigualdad del triangulo

De esta forma,

Si tomamos

El valor que srive es .
Dado que existe una dependencia clara, , por def. no es uniformemente continua.

Teorema.

Si es uniformemente continua, entonces es continua.

El reciproco no siempre implica continuidad uniforme, ¿o sí? Hay un caso en el cual se cumple: si el es un conjunto compacto (cerrado y acotado), como .

Teorema. (Heine-Cantor)

Si es continua, Ent. es uniformemente continua.

Proof.

Supongamos que no es unif. cont. Esto es,

Es decir,

Para
Para
Para

Tenga dos sucesiones , dado que , por el Teorema de Bolzano, subsucesión de convergente .

Tomemos la subsucesión respectiva . Probemos que ..

Así, tenemos que
Como es continua (hip.), se tiene que

Utilizando esto, observamos que

Para suficientemente grande,
Pero esto nos lleva a una contradicción!

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La diferencia con la definición de continuidad, es que , ya no depende de . Es decir, solo .

Def. (Uniformly Continuous)

Sea definida en . Decimos que es uniformemente continua (en ) si tal que si y , entonces .

Evalúa globalmente, en todo el dominio, y no solo en un punto como la continuidad. Esto resulta en proponer un que función para toda la función por igual.

Intuitivamente: Imagina un cuadro que se desliza por toda la función.

Teorema.

Si es uniformemente continua en un intervalo acotado , entonces esta acotado en .

Proof.

Suponemos que es alguno de . Para revisar si está acotada, elegimos tal que siempre que y . Existe un conjunto finito tal que para . Nuestra definición de implica que está acotada en cada uno de los intervalos . Sea

Entonces, para todo , , y esta acotada en .

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Este resultado es importante para un criterio de integrabilidad.

Teorema.

Sea continua en . Entonces es uniformemente continua (en ).

Proof.

Our proof invokes a compactness argument. (topoligia elemental)