Criterios de Convergencia

¿Cómo podemos determinar que converge (o no)?

Teorema. (Criterio 1)

Supongamos que es no negativa e integrable en todo , sea . Entonces,

Proof.

porque es no negariva y
Así, es creciente acotada por arriba por lo que converge a su supremo .
Por esto,

Si converge es porque . Esto es,

Por desigualdad del triang.

Para acotar tome su maximo (). De esta forma está acotado por con lo que se tiene el resultado

• Es este criterio solo para integrales impriopias de 1ra clase?

Corolario.

Bajo las mismas hipótesis del Criterio 1,

Teorema. (Criterio 2)

Sean no negativas tales que , entonces,

1. Si converge, también converge.
2. Si diverge, también diverge.

Proof.

Basta notar que para todo .

1. Si converge, por el corolario,
   Lo que implica, , y por el Corolario 1, converge.
2. Si converge, por tendramos que converge ! Lo cual es una contracción, por tanto diverge.

Teorema. (Criterio 3)

Si converge, entonces también converge.

Proof.

Notese que . Definamos y
Por el criterio 2 tenemos, converge, ent. converge.
Además, para todo se cumple:

Entonces al ser y convergentes, se concluye que converge.

Ejemplo.

Pruebese que converge.
Demostración.
Observamos que para .
Entonces, notamos que sí converge! (Demostrarlo en Tarea)
Por el Criterio 2 existe y converge. Y por el Criterio 3, converge.

Teorema. (Criterio 4)

Sea una función no negativa definida en excepto quiza en . Supongamos que es integrable en . Sea sucesión tal que con , y además, . Así, se tiene

• Observece que este criterio es para integrales impropias de 2da clase.