Densidad

Teorema (Densidad de )

Dados con , se cumple

1. Existe tal que .
2. Existe un irracional tal que .

Esto nos dice que no importa que tan pequeño sea un intervalo, simple hay infinitos racionales e irracionales.

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Def. Densidad de un conjunto

Un conjunto de es denso en si cada intervalo contiene un punto de .

Por ejemplo, es claro que es denso.

De forma más concreta, el siguiente enunciado es muy util. “Entre cualquier para de números reales distintos, sin importar qué tan cerca estén, siempre hay un número racional.”

Teorema. (Densidad en )

Si tales que , entonces existe al menos un tal que . Es decir

Proof.

Supongamos que con . Dadto , tenemos . Por del corolario de P.A.^[Propiedad Arquimediana] sabemos que existe lo suficientemente grande como para que supere a , es decir

Ahora, consideremos el conjunto de todos los enteros que son mayores a . Este conjunto tiene un elemento mínimo por el Principio del Buen Orden, tal que y además

y tenemos

Dado que , podemos obtener

Definimos a nuestro número racional . Por lo tanto, existe un tal que .