Diferenciación

Idea.

Intuitivamente, se representa geometr. como la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en el punto .

Definición. (Derivada)

La derivada de en un punto , denotada , de existir el limite, se define por

De forma equivalente, expresada con el cociente de Fermat,

En el caso de que exista en , decimos que es diferenciable en .
El número también se le nombra tasa de cambio.

La condición de que exista la derivada, si y sólo si, su límite existe y da como resultado un real finito.

Notación.

La notacición de Leibniz es super útil para esto, en donde es nuestra función diferenciable, y la variable a derivar.

Teorema.

Sea una función en un intervalo , es derivable en un punto , si y sólo si, es continua en .

Proof.

P.D.
Equivalentemente, esto es que .
Para , podemos escribir algebraicamente:Tomando el límite cuando y usando las propiedades de los límites (el límite de un producto es el producto de los límites, siempre que ambos existan):Por hipótesis, es derivable en , así que el primer límite es exactamente . El segundo límite es trivialmente .Por lo tanto, , lo que concluye que es continua en .

Teorema. (Algebra de Derivadas)

Sean dos funciones derivables en un punto , se cumple:

1. Linealidad: Sean ,

2. Regla de Leibniz: (o del producto)

3. Regla del Cociente: Si ,

Teorema. (Regla de la Cadena)

Sean función diferenciable en y función diferenciable en . Entonces la función compuesta es derivable en , y su derivada está dada por:

Teorema. (Derivada de una Función Inversa)

Sea continua y estrictamente monótona (por lo que admite una inversa ).
Si es derivable en un punto y , entonces su función inversa es derivable en el punto , y su derivada es

Es decir, sea ,

Teorema. (Derivada de la Exponencial General)

Sea una constante real. La función es derivable en todo y su derivada es

De forma más general, sea derivable en .

Proof.

Utilizaremos la definición axiomática de la potencia de base general: , usando regla de la cadena.

Como es una constante, la derivada de es simplemente .Regresando la expresión a su notación original de base :

La forma general es análoga.

Teorema. (Regla de la Potencia Generalizada)

Sea . Para todo , la función es derivable y se tiene

Generalizando esto, sea derivable en ,

Proof.

Nuevamente, invocamos la definición formal de la potencia: .Aplicamos la Regla de la Cadena. La derivada de la función interna es .Sustituimos de regreso a su forma original :Usando las leyes de los exponentes (que ya demostraste en el Ejercicio 3), . Por lo tanto:

Aplicación: Diferenciación Implicita

Dada la ecuación a resolver de la circunferencia. Si queremos resolver en terminos de , sin despejar. Dado que planteamos que es función de , podemos asumir que existe y diferenciamos los dos lados de la ecuación para obtener

De esta forma, definimos implicitamente como la función de .