Función Exponencial

Dado que es una función estrictamente creciente y suprayectiva, garantizamos que tiene una función inversa única.

Definición. (Exponencial)

La función exponencial, denotada como , se define como la función inversa del logaritmo natural, . Es decir, para todo y todo ,

Observación.

Dado que es una función inversa, se heredan inmediatamente dos identidades fundamentales de cancelación:

1. para todo
2. para todo .

En general, las propiedades de son las de pero al reves!

Teorema. (Propiedades de )

Para cualesquiera ,

Proof.

4. Sean . Definimos dos variables auxiliares para usar la def. de función inversa:
   Sea y sea
   Por definición de inversa, tenemos

Ahora, sumando esto y aplicando propiedades de

Definición. (Potencia de Base General)

Sea y . Definimos como:

---

Definición. (Número de Euler)

Se denota por

y se le conoce como el número de Euler.

Teorema. (Propiedades)

2. Por criterion de la primera derivada creciente
6. (ejercicio dem.)

Teorema. otra propiedad

Sea ;

Algo similar pero con racionales
Si y ,

Si , existe

Proof.

8. fd
9. fjdk
10. Notemos que . Por otro lado, . Así . Por inyectividad, Q.E.D.
11. Q.E.D.
12. Ejercicio