Funciones Uniparamétricas

Longitud de una curva

Una función uniparamétrica es

Ejemplos.

1. Dada continua, su gráfica es una curva un paramétrica.
   La gráfica se puede ver mediante: en .

Los físicos los conocen como desplazamiento de particulas.

2. Circuferencia.

3. Elipse centrada en el origen.

Veremos la integral elpitica! (una bien fea)

En , vamos a trabajar con continuas, donde .

• Ejemplos:
  Dada continua, la curva generada por su gráfica,
  .
  ,
  ,

Empezaremos a ver una forma de calcular longitudes.

Longitudes de gráficas de funciones.

Una aproximación a la longitud de la curva será,

Observamos que la ultima expresión dentro de la raiz cuad. es similar a la def. de derivada, pero no sabemos que las funciones lineales sean derivables.

Así pues, supongamos que es derivable en . Así, por Teorema del Valor Medio.

en donde . Lo anterior es una suma de Reimann para .

Definición. (Longitud de una Gráfica de una función)

Dada derivable, definimos la longitud de la gráfica de , denotado también , como

Ejemplo.

Calcula la longitud de la parábola en el intervalo , ,
, entonces , y ya, resolvemos con sust. trig.

Longitud de curvas de la forma

(Una funcion poligonal con puntos)

De forma similar, ahora tomamos el intervalo pero en la función misma.
Así, la longitud de la poligonal es

Lo que está dentro de la integral, a medida que la partición sea más pequeña el intervalo se aproxima a 0 y van a converger

Definición. (Longitud de la gráfica de una curva)

Sea , la longitud de una curva para con y dervables es

Ejemplo.

Calcula el perímetro de uan circunferencia de radio ,
, . Entonces,

Observación.

Por def. de norma,

Si , entonces se tiene:

Ejemplo 2.

Calcula el perímetro de una elipse con parámetros centrada en el origen.
, con .
La integral elíptica es,

Esta la veremos en el tema de métodos numericos.