Def. (Integral e Integrabilidad)
Una función
acotada en es integrable en si En este caso, a este número común se le denomina la integral de
en y se denota La integral
se denomina también el área de cuando para todo .
Info
El símbolo
originalmente era una alargada que significaba “suma”; los números se denominan limites de integración inferior y superior.
Si
Además, el número
Para discutir a fondo la integral es útil disponer del siguiente criterio.
Teorema 2. (Criterio de integrabilidad
) Si
está acotada en , entonces es integrable en si y solamente si para cada existe una partición de tal que
Proof.
Supongamos primer que para cadaexiste una partición con Como
resulta que
Como esto es cierto para todo
, se deduce que luego, por definición,
es integrable.
Similarmente, sies integrable, entonces Esto significa que para cada
existe particiones con Razón: “truco
y definición del supremo usando ”.^[Supremo e Infimo] Ahora bien, sea
una partición que contenga a y . Entonces según el lema de sumas superiores e inferiores, por consiguiente,
Observamos que surgen dificultades ya sea
Ejemplo 1:
Sea
la función definida en mediante Supongamos que
es una partición de con Entonces
pero
y .
Dadoobtenemos
Lo cual demuestra que
es integrable: para obtener una partición respecto de la cual basta tan sólo elegir una partición que verifique
Además, está claro que
Como
es integrable, existe un único número comprendido entre todas las sumas inferiores y superiores, por lo tanto
Ejemplo 2:
Sea
, para simplificar consideramos un intervalo , donde . Si es una partición de , entonces
por tanto
Ninguna de estas fórmulas es particularmente interesante, pero ambas se simplifican considerablemente en el caso de particiones
con subintervalos iguales.
En este caso, la longitudde cada subintervalo es , de manera que en general
Entonces
Recordando la suma Gaussiana^[Suma Gaussiana]
puede escribirse como Analogamente,
Observamos que si
es muy grande, y se aproximan a , esta observación facilita la demostración de que es integrable: Esto demuestra que existen particiones
para las cuales, la diferencia se puede hacer tan pequeña como se desee. Por el Teorema 2 la función es integrable.
Además,puede calcularse ahora tan sólo con un pequeño esfuerzo adicional.
En primer lugar, está claro queEsta desigualdad demuestra tan sólo que
se encuentra entre determinadas sumas superiores e inferiores, pero hemos visto que se puede hacer tan pequeña como se desee, por tanto existe tan sólo un número con esta propiedad. Como ciertamente la integral tiene esta propiedad, se deduce Observamos que justo está es el área de un triangulo rectángulo de base y altura igual a
.
Utilizando otros cálculos, o el Teorema 4, se puede demostrar que
Ejemplo 3:
Si
es una partición de , entonces Eligiendo, una vez más, una partición
en subintervalos iguales, de manera que las sumas inferiores y superior son
Recordando la fórmula
tenemos que
No es difícil demostrar que
y que
se puede hacer tan pequeña como se desee, eligiendo un suficientemente grande. El mismo razonamiento que el ejemplo anterior permite deducir que
Estos cálculos nos permiten ya un resultado no trivial: el área de la región limitada por una parábola! Esto no lo sabíamos en la geometría elemental! Bueno, Arquímedes si sabía y lo dedujo de forma similar :c
De nuevo, la única superioridad está entonces en otra forma más sencilla de llegar a este resultado…
- link aqui
En nuestra discusión hablamos de verdadero y “complicadisimo” criterio de integrabilidad, el cual, antes de desarrollar, desmoronamos en varios resultados útiles:
Teorema 3. (Criterio de integrabilidad y continuidad)
Si
es continua en , entonces es integrable en .
Proof.
Observemos en primer lugar que
está acotada en , pues es continau en . Para demostrar que es integrable en utilizamos el Teorema 2, y demostramos que para cada existe una partición de tal que El Teorema 1 de Sumas de Reiman^[Sumas de Riemann], nos permite afrimar que
es uniformemente continua en . Por tanto, existe algún tal que , Ahora se trata simplemente de elegir
tal que cada . Entonces para cada tenemos Como
es continua en cada subintervalo, alcanza a sus extremos y , lo cual permite afirmar que Como esto se verifica para todo
, obtenemos
El teorema anterior aporta “toda la información necesaria” para el uso de las integrales en este nivel. Pero resulta satisfactorio poseer mayor surtido de herramientas, para ello los siguientes tres teoremas.
Teorema 4.
Sea
. Si es integrable en , entonces es integrable en y en . Recíprocamente, si es integrable en y en , entonces es integrable en . Finalmente, si es integrable en , entonces
Proof.
Supongamos quees integrable en . Si , existe una partición de tal que Podemos suponer que
para algún . (En otro caso, sea la partición que contiene a y ; entonces contiene a , de manera que ). Además, es una partición de y es una partición de . Ya que obtenemos
Como cada uno de los términos entre corchetes es no negativo, cada uno de ellos debe ser menor que
. Esto demuestra que es integrable en y en . Observemos también que de manera que
Como esto es cierto para cualquier
, se verifica que
Supongamos ahora quees integrable en y en . Si , existe una partición de y una partición de tal que Si
es una partición de que contiene a todos los puntos de y , entonces por consiguiente,
El Teorema 4 permite justificar algunas convenciones de notación. Añadiendo las definiciones:
Con esto el hecho del teorema anterior se verifica para todo