Integral de Reimann

Definición. (Suma de Reimann)

Dada y partición de una suma de Reimann es una expresión.

en donde es una partición de . y , para todo .

Definición. (Integral de Reimann)

Dada decimos que es la integral de si para todo existe tal que para toda con se cumple que para toda (suma de Reimann) con partición .

De exister , la llamamos integral de Reimann.

Teorema. (Integral de Darboux es equivalente a la Integral de Reimann)

Dada continua, se tiene que

Proof.

Veamos que la integral de Darboux implica la integral de Reimann.
Sea . Probaremos que .
Sabemos que .
Entonces existe una partición y una suma inferior tal que

Así,

Como es la integral de Reimann, cumple la definición. Para la tomada existe con la propiedad de "". Para esto, tomemos refinamiento de tal que . Por ser refinamiento,

Por lo que,

Además, por ser una suma de Reimann, respecto a , se cumple que por Def. Int. Reimann.
Así,

para toda .