Definición 1. (Integral Impropia de 1ra Clase)
Sea
tal que es integrable en para toda . Definimos como En caso de existir decimos que
es una integral impropia de primera clase.
Ejemplo.
Calculamos:
Con esto.
Notese!
Dado lo anterior, el valor de
Definición 2. (Integral Impropia de 2da Clase)
Sea
excepto quizá en . Supongamos que es integrable en para toda . Entonces definimos De existir, decimos que
es una integral impropia de segunda clase.
Observación.
Analogamente, sea
excepto quizá en . Sup. integrable en . Entonces .
Ejemplo.
. Así,
Definición 3.
Supongamos que
es tal que es integrable para todo intervalo cerrado y acotado , sea , definimos Si estás dos últimas integrales existen para
Observece que la Def. 3 es una integral impropia de 1ra clase.
Definición 4. (Valor Principal de Cauchy)
Sea
integrable en todo . Definimos el valor principal de Cauchy como
Observación.
- La definción 3 y 4 pueden confundirse.
Puede existir el valor principal de Cauchy pero no existir la integral impropia
. Ejemplo. (Obs.
) , Def 4: Def 3:
- El valor principal de Cauchy es simetrica!
Definición 5.
Sea
excepto quizá en . Definimos Si estás dos últimas integrales existe. En este caso
también es una integral impropia de 2da clase.