Limite

Lo siguiente es el desarrollo de una noción intuitiva de la definición de límite, la proximidad:

Se dice que la función se aproxima al límite cerca de , si se aproxima tanto como se quiera a si se aproxima suficientemente a pero es distinto de .

Entonces proponemos un , una distancia próxima a , y para ese deberíamos encontrar una distancia en el eje que la valide.

Def. (Limite )

La función tiene hacia el límite en , si para todo existe algún tal que, para todo , si , entonces .

O de forma más directa:

Además, este límite es único.

Note

We would rarely use the definition to compute a limit, and we hope seldom to use the definition to verify one; we will use the definition to develop a theory that will verify limits for us.

Example 1.

Any function will have the easily predicted limit

Let us do this for the linear function . We expect that

Let us prove this. We need a condition ensuring that the expression

is smaller than . Some arithmetic converts this to

Now it is clear that, if we insist that , we will have

Better, though, would be to write it in a more straightforward manner that obscures how we did it but gets to the point of the proof more simply:

Proof.
Let . Let . Then for all with we have

By definition, as required. Q.E.D.

Teorema (Álgebra de Limites)

Sean funciones tales que y donde
1.

4. Si , entonces

Observación.

Podemos generalizar los puntos y , de tal forma que si son funciones de cada una con límite en , entonces

Teorema. (Sandwich de Límites)

Sean y sea . Si , para todo , y si y , entonces

Proof.

Teorema. (Límite de V.A.)

Sea y sea , entonces

Proof.

Teorema. (Límite de la Composición) (Continudad)

Si y sea función continua en , entonces

Proof.

Teorema. (Conservación de Desigualdades en el Límite)

Sean y dos funciones tales que sus límites cuando existen.
Si existe vecindad alrededor de donde se cumple que (para todo ), entonces sus límites heredan la desigualdad.

Proof.