Suma Inferior y Superior

Def. (Suma Inferior y Superior)

Supongamos que está acotada en y que es una partición de . Sea

La suma inferior de respecto a , representada mediante se define como

La suma superior de respecto a , representada mediante , se define como

Observación

A pesar de la motivación geométrica, estas sumas se han definido de manera precisa, sin invocar ningún concepto de “área”.

Además, como comentario, el requisito que esté acotada en es esencial para que los y estén bien definidos. También, es necesario definir a y como ínfimos y supremos y no como máximos y mínimos, ya que no se supone que sea continua.

• Un resultado evidente es que , ya que para cada se verifica .

Ahora, recordamos que queremos llegar a , dadas . Es útil el siguiente lema referente al comportamiento de y , a medida que van introduciéndose más puntos en la partición.

En la figura, representa la partición con puntos blancos y negros. Es claro que contiene a , solo los puntos negros. Ésto señala que los rectángulos de aproximan mejor que la partición .

Lema.

Si contiene a , entonces

Proof.

Consideremos primero el caso especial (figura) en donde contenga solamente un punto más que :

donde

Sea

Entonces

Para demostrar que es suficiente, por lo tanto, comprobar que

En efecto, el conjunto contiene a todos los número de y posiblemente a otros más pequeños, de manera que la cota inferior máxima del primer conjunto ha de ser menor o igual que la cota inferior máxima del segundo; por lo tanto

Análogamente,

Por lo tanto,

Esto demuestra en particular que en este caso particular. La demostración de que es similar, un ejercicio muy útil.
Ahora puede deducirse fácilmente el caso general. La partición puede obtenerse a partir de añadiendo un punto cada vez; en otras palabras, existe una sucesión de particiones

tales que contiene exactamente un punto más que . Luego

y

Teorema 1.

Sean y particiones de , y sea una función acotada en .
Entonces

Proof.

Existe una partición que contiene tanto a como a (considérese la partición formada por ). Según el lema anterior,

De este teorema, dado que cualquier suma es una cota superior del conjunto de todas las sumas inferiores , se deduce:

para toda partición . Esto a su vez significa que es una cota inferior del conjunto de todas las sumas superiores de . Por consiguiente,

Y es evidente que para todas las particiones