El Teorema de Lagrange o Teorema de Valor Medio establece que, bajo ciertas condiciones de continuidad y derivabilidad, existe un punto en el intervalo donde la derivada coincide con la tasa de cambio promedio.
Teorema. (T.V.M.)
Sea
una funcíon continua en y derivable en , Ent. tq.
Un caso particula del T.V.M. es el Teorema de Rolle.
Teorema. (Teorema del Valor Medio para Integrales)
Sea
continua. Entonces existe tal que
Tambíen conocido como el Teorema del Valor Promedio.
Proof.
Por
del Teorema anterior, donde para algún ,
para algún ,
Así,Así, por el Teo del Valor Intermedio existe
tal que
Idea.
Representa un promedio ponderado. La función
le asigna mayor “importancia” a ciertas zonas del intervalo
Teorema (Teorema del Valor Medio Ponderado)
Sean
continuas en . Si nunca cambia de signo en entonces, tal que