Teorema Fundamental del Cálculo

La integración y la derivación son operaciones inversas. La integral es una función de “acumulación”, y la derivada “el ritmo actual”.

Teorema 4. (Teorema Fundamental del Cálculo)

Sea continua, si definimos de tal forma que , entonces es continua en y derivable en y su derivada para todo es

Proof.

Por propiedad 1,

Lo que implica,

Por propiedad 2,

Entonces,

Lo que implica,

Tomamos y , de esta forma

Por el Teorema del Sandwich

Observación.

Analizando un poco nuestra demostración, vemos que se usa la antiderivada:

Por lo que tenemos,

Usando la Def. del Cociente de Newton, y dado que es continua, el y el convergen . (Esto se debería de demostrar formalmente)

Despues del teorema fundamental, podemos estudiar… Antiderivadas.^[Antiderivada] Y llegar al siguiente resultado.

La Regla de Barrow (TFC2) nos permite concetar integrales definidas con antiderivadas, permitiendo calcular la función de acumulación (integral).

Teorema. (Teorema Fundamental del Cálculo 2)

Sea continua, y sea la antiderivada de entonces,

Observación.

• De otra forma,

• Cuidado! pues no hay variable de derivación , solo estamos derivando una constante.

• Dada integrable en se define

pues

Con esto, podemos desarrollar más resultados.

Teorema 6. (Unicidad de la Integral)

Si tiene una integral, entonces ésta es única.

Proof.

Por el T.F.C. 2, . Ahora,
Esto implica, . Como la constante está determinada de manera única por , sólo existe una integral

Ejemplo.

Consideramos la partición,
tenemos que

Dada , es antiderivada
Por TFC 2,

Si tomamos ,
Por TFC 2,