Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz

Teorema. Desigualdad de Cauchy generalizada

Para sumas o integrales, el producto no supera a la norma

Frecuentemente usada en cálculo multivariable y álgebra lineal

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Teorema. Desigualdad de Cauchy Vectorial Para cualquier .

donde la igualdad se verifica si y sólo si y son paralelos.

Proof.

Si no es paralela a , hay un triángulo rectángulo con hipotenusa y base . Sea el tercer lado de este triángulo rectángulo. De acuerdo con el Teorema de Pitagoras tenemos

o

De la ecuación (1.2)

Si es paralelo a y o es nulo, entonces la igualdad se verifica ().
Si y no nulos, entonces para algún , por tanto,

Q.E.D.

Otra demostración parte de la expresión, para no nulos.

Proof.
Dado (1.2) y (2.6),

Podemos tomarlos como los vectores unitarios .

Y tenemos

En otros terminos

Dado (1.3)

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2. Corolario

Se sigue que , de acuerdo (2.1), se satisface la desigualdad .

Ahora podremos demostrar la Desigualdad del Triangulo.